Ableitung funktion

In diesem Lerntext beschäftigen wir uns mit den Ableitungen von Funktionen. Dazu beantworten wir zunächst die Frage, was genau die Bedeutung einer solchen Ableitung ist. Wie die verschiedenen Ableitungen einer Funktion in der Mathematik aussehen können, haben wir dir hier einmal dargestellt. Bei der Kurvendiskussion und in vielen anderen Aufgaben wird nach der ersten, zweiten und manchmal auch nach der dritten Ableitung gefragt. Doch welche Bedeutung haben diese Ableitungen überhaupt? Ein bekanntes Beispiel ist die Funktion, die den Weg in Abhängigkeit zur Zeit abbildet. Deren Ableitung, also die Steigung der Funktion, ist die Geschwindigkeit in Abhängigkeit zur Zeit. Wird die Funktion der Geschwindigkeit dann wieder abgeleitet, erhalten wir die Funktion, die die Beschleunigung in Abhängigkeit zur Zeit abbildet. Hier klicken zum Ausklappen. Daher wird er immer schneller. Die ist immer gleich. Das sieht man daran, dass die Steigung der Geraden 1. Ableitung stets gleich ist. Bildet man die zweite Ableitung des Weges nach der Zeit, so erhält man dessen Beschleunigung.

Ableitung von Funktionen: Einführung

Welche Teilfunktion du als erste und welche Teilfunktion du als zweite betrachtest, ist egal. Hinweis: Die Exponentialfunktion sollte im Anschluss ausgeklammert werden, um weitere Berechnungen zu vereinfachen. Hier kannst du dir weitere Beispiele sowie die Herleitung der Produktregel anschauen. Die Kettenregel wird angewandt, wenn zwei Funktionen ineinander verschachtelt, also verkettet sind. Ein Quadrat wird also danach in die vierte Potenz erhoben. Erst wird quadriert innere Funktion , dann wird die Funktion 4. Mehr zu der Kettenregel erfährst du hier: Kettenregel. Es werden zunächst wieder die zwei Funktionen identifiziert und getrennt abgeleitet. Danach werden die Teilfunktionen und deren Ableitungen in die Formel eingesetzt. Schauen wir uns ein Beispiel an:. Hier haben wir noch eine Übersichtsseite zum Herunterladen für dich vorbereitet. Mit den Übungsaufgaben kannst du überprüfen, ob du auch alle Ableitungsregeln anwenden kannst. Viel Erfolg dabei! Dein Autorenteam für Mathematik: Simon Wirth und Fabian Serwitzki.

Regeln zur Ableitung von Funktionen

Funktionen, die eine Ableitungsfunktion besitzen, nennt man differenzierbar. Die Ableitung von der zweiten Ableitung ist dann die dritte Ableitung. In der Schulmathematik werden in der Regel nur diese ersten drei Ableitungen benötigt. Grundsätzlich kann es aber beliebig viele Ableitungen geben. Es gibt neben solchen Polynomen aber auch Ableitungen bei speziellen Funktionen :. Es gibt aber auch Funktionen, die gar nicht bzw. Angenommen, du willst die Steigung an einem Punkt eines Graphen wissen. Anschaulich legst du dann zunächst eine Sekante an diesen Punkt sowie an einen weiteren Punkt des Graphen. Die Steigungen der Sekanten kann man mithilfe des Differenzenquotienten ermitteln. Je näher die Punkte aneinanderliegen, desto näher kommst du der Steigung an dem ursprünglichen Punkt. Der Grenzwert dieser Steigungen ergibt dann die Ableitung. Dies entspricht der Steigung der Tangente und damit der Steigung des Graphen in dem gewählten Punkt. Geometrisch betrachtet gibt die erste Ableitung also die Steigung des Graphen an.

Anwendung der Kettenregel bei Ableitungen

Möchtet ihr nun die Steigung für die Tangente durch den Punkt P an einem x-Wert wissen, schaut ihr bei diesem einfach den y-Wert der Ableitung an, denn das ist die Steigung an diesem Punkt. Hier seht ihr die Funktion f in grün. In rot wurde die Tangente durch den Punkt P eingezeichnet und ihr bekommt für den Punkt P immer die Steigung angezeigt, wobei ihr diesen Punkt mit dem Schieberegler verschieben könnt. So verändert sich auch die Steigung. Die Steigung wird euch mit dem Punkt M angezeigt, der für jeden x-Wert d ie passende Steigung der Funktion f als y-Wert hat z. Lila ist die Ableitung der Funktion f, da wird euch auffallen, dass der Punkt M sich genau auf dieser Linie bewegt, also auf der Ableitung , denn die Ableitung gibt ja, genauso wie der Punkt M, die passende Steigung der Funktion f für einen bestimmten x-Wert an. Hier seht ihr die Funktion f in grün und die 1. Ableitung in orange und die 2. Ableitung in lila. In unserem Shop findet ihr passende Lernmaterialien, z. Trainingsbücher mit Übungsaufgaben. Mit jedem Kauf unterstützt ihr den Betrieb unserer Webseite.